Родился в 16 марта 1912 года в деревне Павловка, Исилькульского района Омской области. Окончил 5 классов, трудовую деятельность начал простым подпаском. Окончил курсы учителей начальных классов, работал сельским учителем в селе Одесское той же области.
В 1934 году был призван в Красную Армию. В 1935 году окончил в школу санитарных инструкторов в городе Иркутске. Участник советско-финляндской войны 1939—1940 годов.
В июле 1941 года Исилькульским райвоенкоматом был вновь призван в армию. С ноября 1941 года участвовал в боях с захватчиками на Южном, затем Северо-Кавказском фронтах. Воевал по специальности, полученной до войны — санинструктором. В составе 107-й стрелковой бригады гвардии старшина Солодовников участвовал в боях на Малой Земле, освобождении Таманского полуострова. Член ВКП/КПСС с 1943 года. Была ранен, награждён медалью «За отвагу».
После госпиталя был направлен в 32-ю гвардейскую стрелковую дивизию. Здесь скрыл свою специальность и по собственной просьбе зачислен в пулеметный расчет. В составе пулеметной роты 82-го гвардейского стрелкового полка участвовал в боях за освобождение Таманского полуострова.
Отличился в боях на Керченском полуострове в январе 1944 года. 11 января при отражении атаки противника, выдвинулся с расчетом во фланг наступающей пехоты. Невзирая на сильный обстрел противником, пулеметным огнем уничтожил свыше 15 противников, подавил две огневые точки противника. Своими действиями создал условия для успешной контратаки нашей пехоты, которая ворвалась во вражеские траншеи.
Приказом по частям 32-й гвардейской стрелковой дивизии от 24 января 1944 года гвардии старшина Солодовников Алексей Емельянович награждён орденом Славы 3-й степени.
17 марта 1944 года при прорыве обороны противника расчет гвардии старшина Солодовникова действовал в составе штурмовой группы. Несмотря на сильный огонь противника, вел свои расчетом беспрерывный огонь по врагу, подавил огонь трех пулеметных точек, уничтожил до 40 противников. В том же бою был ранен и направлен в госпиталь.
Приказом по войскам Отдельной Приморской армии от 16 апреля 1944 года гвардии старшина Солодовников Алексей Емельянович награждён орденом Славы 2-й степени.
После госпиталя вернулся на фронт только через несколько месяцев и снова попал в другую часть — 327-й горно-стрелковый полк 128-й горно-стрелковой дивизии. Воевал на 4-м Украинском фронте.
21 сентября 1944 года в бою за село Боров гвардии старшина Солодовников подавил 3 огневые точки противника, мешавшие продвигаться стрелковым подразделениям. Вместе с расчетом Солодовников ворвался на окраину села и огнем из пулемета способствовал его освобождению. Командиром полка был представлен к награждению орденом Славы 2-й степени.
Пока наградные документа ходили по инстанциям, пулеметчик Солодовников вновь отличился.
12 октября 1944 года в районе населенного пункта Звала, гвардии старшина Солодовников, отражая контратаку противника, из пулемета подавил 4 огневые точки и истребил более 20 противников, чем способствовал захвату стрелковыми подразделениями этого населенного пункта. 16 октября в бою за безымянную высоту, будучи раненым, продолжал вести огонь из пулемета, поддерживая атакующую пехоту, подавил огонь двух пулеметных точек. За этот бой командиром полка был вновь представлен к награждению орденом Славы 2-й степени.
Ранение было в обе ноги и оказалось серьезным. Солодовников был эвакуирован в тыл. Он так и не узнал о новых наградах.
Приказами по войскам 1-й гвардейской армии №066/н от 18 ноября 1944 года и №069/н от 14 декабря 1944 года гвардии старшина Солодовников Алексей Емельянович награждён двумя орденами Славы 2-й степени. Причем в первом приказе ошибка в фамилии — Салодовников.
В госпиталях провел много месяцев, здесь встретил День Победы. В октябре 1945 года был демобилизован. Вернулся в родное село.
В 1953 году переехал в город Коркино Челябинской области. Работал на Коркинском вскрышном разрезе, затем на Коркинской колбасной фабрике.
По свидетельству земляков, вернулся с фронта без орденов. Единственный врученный орден Славы 3-й степени потерял в одном из боев. В конце 1960-х годов обратился в Министерство Обороны с запросом о восстановлении награды. Тогда и выяснилось, что в разное время он был награждён и другими орденами Славы.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 октября 1968 года в порядке перенаграждения Солодовников Алексей Емельянович награждён орденом Славы 1-й степени. Тогда же ветерану был вручен и орден Славы 2-й степени. Стал полным кавалером ордена Славы.
Жил в городе Коркино Челябинской области. Скончался 17 июля 1986 года.